你有没有遇到过这样的场景：手头有一组数据点，想用一条平滑的曲线去拟合它们，但又不想用复杂的机器学习模型？这时候，最小二乘法四次回归就是你的“宝藏工具”！今天我就来手把手教你——如何计算四次回归的系数，公式不复杂，但细节很关键，适合收藏备用～
Q：什么是四次回归？它和普通线性回归有什么不同？
四次回归是一种多项式回归，它假设因变量 y 和自变量 x 的关系可以用一个四次多项式表示： $$ y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 $$ 其中 $ a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 $ 就是我们要找的回归系数。相比一次回归（直线），它能更好地捕捉非线性趋势，比如温度变化、经济增长曲线等。
Q：那怎么求这些系数呢？公式到底长什么样？
别急！最小二乘法的核心思想是：让所有数据点到拟合曲线的误差平方和最小。设我们有 n 个数据点 $(x_i, y_i)$，目标是最小化：
$$ S = \sum_{i=1}^{n}(y_i (a_0 + a_1x_i + a_2x_i^2 + a_3x_i^3 + a_4x_i^4))^2 $$
对每个系数 $ a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 $ 求偏导并令其为 0，就能得到一个五元一次方程组（即正规方程）：
$$\begin{cases}n a_0 + \sum x_i a_1 + \sum x_i^2 a_2 + \sum x_i^3 a_3 + \sum x_i^4 a_4 = \sum y_i \\\sum x_i a_0 + \sum x_i^2 a_1 + \sum x_i^3 a_2 + \sum x_i^4 a_3 + \sum x_i^5 a_4 = \sum x_i y_i \\\sum x_i^2 a_0 + \sum x_i^3 a_1 + \sum x_i^4 a_2 + \sum x_i^5 a_3 + \sum x_i^6 a_4 = \sum x_i^2 y_i \\\sum x_i^3 a_0 + \sum x_i^4 a_1 + \sum x_i^5 a_2 + \sum x_i^6 a_3 + \sum x_i^7 a_4 = \sum x_i^3 y_i \\\sum x_i^4 a_0 + \sum x_i^5 a_1 + \sum x_i^6 a_2 + \sum x_i^7 a_3 + \sum x_i^8 a_4 = \sum x_i^4 y_i \\\end{cases}$$
Q：听起来好复杂，能不能举个真实案例？
当然可以！我曾帮一位朋友分析某品牌手机销量随时间的变化。他提供了 10 个月的数据（月份从 1 到 10），销量分别为：[120, 150, 180, 220, 250, 270, 290, 310, 330, 350]。用 Python 写了个脚本跑出四次回归系数后，得到：
$$ a_0 ≈ 110.2,\ a_1 ≈ 15.3,\ a_2 ≈ 1.2,\ a_3 ≈ 0.1,\ a_4 ≈ 0.005 $$
这条曲线完美贴合了初期增长快、后期趋于平稳的趋势，比简单线性拟合准确多了！
Q：我该怎么用这个公式？手动算还是用工具？
建议用工具！Excel、Python（numpy.polyfit）、MATLAB 都能一键求解。但理解公式很重要——它不仅是数学推导，更是你做数据分析时的底气。下次发朋友圈，你可以骄傲地说：“我懂最小二乘法四次回归！”
✨ 总结一句：公式不是冷冰冰的符号，而是你洞察数据背后的逻辑钥匙。收藏这篇，下次写文章直接引用，稳赢！
